这篇文章介绍一下SEA驱动器中：

1.      线性动力学模型及其简化（Linear Dynamics Model and its Simplification）;

2.      力矩求导（Torque Derivation）

这两块的内容是后续分析SEA弹性体刚度选择（Stiffness Selection）和相关SEA力矩控制（Torque Control）响应及性能的基础。因为SEA已经出现了将近20年，所以线性动力学模型和相关力矩求导都是经典内容——Nothing Special.

我希望通过我的解释，能够让之前没有了解过SEA的伙伴们快速入门。

阅读提示（线性动力学模型Eq. 7，Eq. 8重要，力矩求导Eq. 13重要，结论性公式）

线性动力学模型：

上图展示了SEA驱动器的实际物理结构（左图），我着重圈出了三个方块：

红色方块: 电机转子（Motor Rotor）

绿色方块：减速箱（Gearbox）

蓝色方块：输出端（Load），其中减速箱端与输出端串联关键的弹性体

对应的物理模型如上右图所示：红色（Motor）---绿色（Gearbox）---输出端（Load）

其中：

I_m: 电机转子惯量； I_g: 齿轮箱惯量； I_I: 输出端惯量；

k_g, d_mg: 电机端与齿轮箱端，弹簧阻尼系统的刚度与内部阻尼；

k_b, d_gl: 齿轮箱端与输出箱端，弹簧阻尼系统的刚度与内部阻尼；

q_m, q_g, q_l: 电机端，齿轮箱端，输出端绝对位置；

τ_m、τ_e: 电机端输出扭矩（电机线圈产生），输出端扭矩（与外部环境交互产生）；

d_m, d_g, d_l: 电机、齿轮箱与输出端与驱动器外壳间的粘滞阻尼；

Δ=q_g-q_l: 输出端与齿轮箱端绝对位置偏角（重要参数）

线性动力学的模型的核心其实就是各个模块上的扭矩平衡，如下：

电机端扭矩平衡Eq. 1：

齿轮箱端扭矩平衡Eq. 2：

输出端扭矩平衡Eq. 3：

这里还需要提及到的是在Eq. 3中的最后两项可以写成如下的形式Eq. 4 (重要！)：

注意：这里的τ是和之前的定义的 τ_e 是有区别的，τ在这里是齿轮箱向输出端传递的力矩。当处于输出平衡状态时，有如下等式Eq. 5：

工程经验：即使在输出端环节，τ，τ_e 也是相差一个 d_lq_l ,这里的d_l是输出端与驱动器外壳的粘滞系数，与机械设计环节轴孔支撑的公差与装配手艺有重要的关系。

模型简化：

 首先对于Eq. 4可以简化为Eq. 6：

（一般齿轮箱与输出端的弹性体都是金属材料，其阻尼系数可以忽略不计，即  mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language: ZH-CN;mso-bidi-language:AR-SA">d_{gl mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language:ZH-CN;mso-bidi-language:AR-SA">≈} mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language: ZH-CN;mso-bidi-language:AR-SA">0 ）

对于大部分SEA驱动器而言，谐波减速器的刚度都远远大于柔性传动元件，因此我们可以将谐波减速器考虑成刚体（Rigid Body）,即：

所以对于Eq. 1与Eq. 2我们可以简化成如下Eq. 7 (重要！)：

对于Eq. 3可以改写成如下Eq. 8：

力矩求导：

这部分内容中通过拉普拉斯变换与一系列数学推导，我们将试图得到在频域下：

输出量 τ(s) 与输入量 τ*(s), q_l(s) 之间的关系

τ(s)：频域下实际输出扭矩——电机端传递到输出端；

τ^*(s)：频域下目标扭矩；

q_l(s)：频域下输出端绝对位置；

以上即为处理公式Eq. 7的数学目标。
 

1. 处理 q_m(s)

首先，对线性动力学模型得到的Eq. 7进行拉普拉斯变换，并代入 q_m(s)-q_l(s):=Δ(s) 进行改写，我们得到Eq. 9：

我们仔细观察Eq. 9, 通过q_m(s)-q_l(s):=Δ(s) 的代入，我们已经消除了q_m(s)这个电机端的位置变量，下一步要做的就是处理τ_m(s) 这个电机端的输出力矩。

 2. 处理 τ_m(s)

假设我们使用了一种如下形式的反馈控制器,

这种控制器是用来测量角度偏转Δ , 并且假设前馈控制为λ（s）,那么我们得到如下Eq .10：

将Eq .10代入Eq. 9, 我们将得到Eq. 11：

这里，我们看到Eq. 11中，我们要的τ*(s), q_l(s)都已经在等号右边出现。

3. 处理 τ(s)

我们从Eq. 4可以知道 τ(s) =（k_b+d_gls）Δ(s) ，将其代入Eq. 11的等号左边，我们得到Eq.12：

4. 整理

将Eq. 12整理如下得到Eq. 13：

Eq. 13算是SEA的力矩求导下，通过拉普拉斯变换结论性的公式，如果不需要知道相应的推导过程，可以直接拿去使用。其对于分析SEA驱动器的力控性能至关重要——包括透明度（Transparency）和力矩追踪能力（Torque Tracking）.

（所有的公式都是我在知乎网页上Latex一个一个敲出来的，不保证全部正确。如果真的有小伙伴能够看完所有公式，给我纠正出错误，我非常开心和感激！）

 对于SEA驱动器硬件结构不是很了解的小伙伴，附上我以前写过的介绍链接：

1.      一种带力矩、位置传感器的紧凑人型机器人SEA驱动器（带谐波减速器）机械设计方案。

2.      Strain Gauge or Encoder based? 关于SEA力矩测量原理选择的浅谈。

参考文献：

1.      Roozing, Wesley, Jörn Malzahn, Navvab Kashiri, Darwin G. Caldwell, and Nikos G. Tsagarakis. "On the Stiffness Selection for Torque-Controlled Series-Elastic Actuators." IEEE Robotics and Automation Letters 2, no. 4 (2017): 2255-2262.

2.      Pratt, Gill A., and Matthew M. Williamson. "Series elastic actuators." In Intelligent Robots and Systems 95.'Human Robot Interaction and Cooperative Robots', Proceedings. 1995 IEEE/RSJ International Conference on, vol. 1, pp. 399-406. IEEE, 1995.

本文转载自知乎，作者：任赜宇，如若转载请联系原作者。