上次跟大家聊到了posicast的不足之处在于，对于系统的模型不匹配敏感，其实有个简单的解决办法：把两个posicast串联在一起。


其中



那么级联形式的posicast的传递函数则为：



这个的道理是如何呢？级联形式的陷波更宽，更深了。对照一模型完全匹配例子来看，先看各自的频域响应：


匹配完了之后：


可见级联形式的陷波更深，更宽。那么有模型不匹配的情况下，频域响应又是怎样的？


对于10%的模型不匹配，在补偿之后，级联形式的posicast对于谐振峰的抑制明显更好一些。

再看一个时域仿真的例子


在实现形式上大家可以看到，对于单一posicast，输出信号为当前值以及一步延迟的组合；对于双重posicast，输出信号为当前值，一步延迟，两步延迟的信号的组合。这也是为什么有些文献把这种形式的前馈控制器叫做2 step input shaper， 3 step input shaper的原因。看一下它们的时域响应，第一图为模型完美匹配，第二图为10%模型不匹配，第三图为20%模型不匹配。


在模型匹配度极好的情况下，单一posicast的表现最好，但是随着模型不匹配度的增加，双重的posicast级联则明显优于单一posicast。但是级联的posicast是以牺牲带宽为代价的，no free lunch。当要求系统响应速度快，前馈posicast并不是一个好的选择，应考虑引入其他类型的反馈控制器。

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