在控制指令下达之后，震荡现象往往是个令人头疼的问题，超调可能会带来物理系统损害，从振动形式达到稳态时间需要很长时间等问题。在有些应用之中，比如说在微机电里面，甚至会达到100%（因为其阻尼主要来自空气阻力，而其体积又非常小，在真空中其品质因数可轻松达到1000以上，对应的阻尼系数ζ在0.001这个数量级）。如下图所示的一个微机电执行器的阶跃响应：
从控制的角度来讲，这是我们不希望看到的。该怎么减小震荡的问题？我在上一篇文章

系统零点与震荡里面提到过反馈系统里面抵消震荡的原理，我这次想聊一下前馈法，英文里面一般叫feedforward compensator，也有叫input shaper的，也有搞信号的就叫它是一个filter，anyway。前馈法的优点是什么？便宜，不用买传感器；不会带来稳定性问题。

如果对于一个线性度很好的稳定的震荡系统，前馈法抵消应该是个很容易的事情：引入一对前馈的零点（notch filter），把震荡的极点对给抵消了不就好了么。问题是，这个零点对怎么实现？纯微分都不好实现，那一对共轭的零点麻烦就会更大。其实有个经典的前馈控制器叫做posicast controller：

它的控制框图也很简单：

图片来自文献[1]。

其中的δ和Td是非常直观的，对于工程师们是非常容易理解和实现的，如下图的例子，前者是超调量，后者是超调时间：

在根轨迹上来看一下发生了什么：


图片来自文献2，我就不手绘了。公式（1）其实是有个无穷零点的系统，而它的第一对零点就用来抵消掉那个不希望有的震荡极点对。它比notch好的地方在于，它的高频增益是很低的，而不像notch那样过了陷波之后就会一路走高，看它自己的不加log scale频域图的一个例子：


可见它的幅值增益是不会超过1的。即对于高频的前馈噪声不敏感。再看一个在频域下抵消了震荡极点之后的图：


看红线明显可得知震荡极点对被抵消了。

这个方法对于线性度好的稳定系统相当有效，但是如果这个极点对和零点对不匹配呢？答案是鲁棒性比较差，即使有着比较小的不匹配，效果也会大打折扣：


前馈法是否就山穷水尽了？并不是。下一次我会给大家介绍一下robustness更好一些的前馈控制器。

前馈形式的震荡控制器（下）

[1] Hung, John Y. "Feedback control with Posicast." IEEE Transactions on industrial electronics 50.1 (2003): 94-99.
[2] Singh, Tarunraj, and S. R. Vadali. "Robust time-delay control." Journal of dynamic systems, measurement, and control 115.2A (1993): 303-306

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